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求二重积分，利用几何意义

题目如图

2025-04-05 02:06:58

推荐回答（4个）

回答1：

抛物面ABC的面积S:

∴曲顶柱体的体积V=(4/3)×2=8/3；

事实上，

回答2：

1画出积分域先对x后对y积分
原式=S(0,2)dyS(1,y+1)siny^2dx=S(0,2)ysiny^2dy=1/2S(0,2)ysiny^2dxdy^2=-1/2cosy^2|(0,2)=(1-cos4)/2

回答3：

由二重积分的几何意义知，此二重积分表示半径为R的上半球的体积，因此
原式=1/2×(4π/3）×R^3=(2πR^3)/3

回答4：

利用几何意义求二重积分的值就是求曲顶柱体的体积，本题中的曲顶柱体底面是矩形，曲顶是柱面z=1–x^2,它的母线平行于y轴，就上面盖了一块瓦当，想象一下超市卖的长面包哈哈哈。现在换一个角度看这个立体，把xoz平面上的一块侧面看成是底面，顶与底面平行，哈，成了普通的平顶柱体，相当于把长面包立起来，体积是底面积乘以高。只是现在底面是xoz平面上由抛物线z=1–x^2与x轴在相应区间上围成的曲边梯形，用定积分求出面积，问题就解决啦。