let
u =√x
2udu = dx
x=0, u=0
x=+∞ , u=+∞
∫(0->+∞) √x.e^-x dx
=∫(0->+∞) u.e^(-u^2) (2udu)
=2∫(0->+∞) u^2.e^(-u^2) du
=-∫(0->+∞) u.de^(-u^2)
=-[ u.e^(u^2) ]|(0->+∞) +∫(0->+∞) e^(-u^2) du
=0+∫(0->+∞) e^(-u^2) du
=√π/2
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