必要性:设lim(x→x0)f(x)=a，则对任意正数ε，存在正数δ，当0＜|x-x0|＜δ时，有|f(x)-a|＜ε。从而当x0-δ＜x＜x0时，有|f(x)-a|＜ε，故lim(x→x0-)f(x)=a;同样当x0＜x＜x0+δ时，有|f(x)-a|＜ε，所以lim(x→x0+)f(x)=a。
充分性:设lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=a，则对任意正数ε，分别存在正数δ1和δ2，当x0-δ1＜x＜x0时，有|f(x)-a|＜ε;当x0＜x＜x0+δ2时，有|f(x)-a|＜ε。取δ=min{δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，有|f(x)-a|＜ε，即lim(x→x0)f(x)=a
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