出租车司机肇事逃逸出租公司负不负赔偿责任

属于雇佣关系，司机负法律责任、租赁公司应承担连带赔偿责任。司机逃逸是否构成交通肇事逃逸，根据法律的定义，关键要看司机的主观目的是否为了逃避法律责任。
主观上若不是为了逃避法律责任，即使发生逃逸事实，也不构成交通肇事逃逸；
即使司机主观上为了逃避法律责任而发生逃逸，构成了交通肇事逃逸，但从楼主所述，事故本身造成的损害不大，不足以构成犯罪，故司机不会受到刑罚。但有可能会根据《道路交通安全法》被拘留并暂扣驾照、罚款、记分。

《中华人民共和国民法通则》、《关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》等相关司法解释规定的人身损害赔偿
第九条：“雇员在从事雇佣活动中致人损害的，雇主应当承担赔偿责任：雇员因故意或重大过失致人损害的，应当与雇主承担连带赔偿责任。雇主承担连带赔偿责任的，可以向雇员追偿。”
第十一条：“雇员在从事雇佣活动中遭受人身损害，雇主应当承担赔偿责任。雇佣关系以外的第三人造成雇员人身损害的，赔偿权利人可以请求第三人承担赔偿责任，也可以请求雇主承担赔偿责任，雇主承担赔偿责任后，可以向第三人追偿。雇员在从事雇佣活动中因安全生产事故遭受人身损害的，发包人、分包人知道或者应当知道接受发包或者分包业务的雇主没有相应资质或者安全生产条件的应当与雇主承担连带赔偿责任”。同时,该条第三款又规定：“属于《工伤保险条例》调整的劳动关系和工伤保险范围的，不适用本条规定。”
第十七条：“受害人遭受人身损害，因就医治疗支出的各项费用以及因误工减少的收入，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，赔偿义务人应当予以赔偿。”
受害人因伤致残的，其因增加生活上需要所支出的必要费用以及因丧失劳动能力导致的收入损失，包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费，赔偿义务人也应当予以赔偿。