已知对任意的x∈(-∞ ,0)∪(0,+∞),y∈[-1,1],

2025-05-05 09:13:35
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回答1:

令x=y=a,则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a),
令x=y=-a,则f(a2)=f(-a)+f(-a)=2f(-a),
即f(a)=f(-a),
故函数f(x)是偶函数,
(2)任取0<x1<x2,则x2-x1>0,
∵f(xy)=f(x)+f(y);
∴f(xy)-f(x)=f(y);
∴f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1


x2
x1
>1,x>1时,f(x)>0,
∴f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)>0,
得到f(x1)<f(x2),
∴f(x)为(0,+∞)上的增函数.
故函数f(x)在区间(0,-4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2,
又由函数f(x)是偶函数,
∴函数f(x)在区间[-4,0)上的最大值也为2,
故函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,-4]上的最大值为2;
(3)由(2)得f(4)=2,则f(16)=f(6)+f(6)=4,
故不等式f(3x-2)+f(x)≥4可化为: