第五题 数学证明题

对于3阶幻方，不妨设为1到9 填入九宫格。
那么每行每列和斜线的和必然是15 （这个是容易证明的。你只要把每行和相同，而3行的总和是45 so 45/3=15.)

接下来考虑有几种方法可以使3个数的和为15
可以有
1+5+9
1+6+8
2+4+9
2+5+8
2+6+7
3+4+8
3+5+7
4+5+6
共这8种情况。
其中5有4次，2，4，6，8 有3次，1，3，7，9有2次。
这8种情况刚好对应每行每列和斜线，
而且九宫的中心要4次，角上要3次，边上2次。
so 5一定在中心，2，4，6，8 在角上，1，3，7，9在边上。
而且2和8对角，4和6对角

现在左上角可以有2，4，6，8，共4种选择
取定一种后，在右上角还可以有2种选择。
而同时取定左上角和右上角后，就完全确定了该3阶幻方
所以共有4*2=8种

（1+2+……+9）/3=15.每行，列。对角线三个数的和都是15.按照一个数与别的两个数合成15的个数，对1，2，……，9分类。
①两个15：1，3，5，7.（例如7：只有267.357两个）
②三个15：2，4，6，8.（例如8：168，258，348）
③四个15：5（159.258，357，456）
下面来作幻方了。九个格点也分三类：中心格。角格，边中格。
中心格要求四个15，只可放5.我们在中心格填上5.（只余下8个数了）
角格要求三个15。放2，4，6，8.放的方法正好八个：（例如右上角放2，则左下角必放8，另外两个角放4和6，可以对调，共两个放法。把2换4，6，8.各两个放法，总共八个放法，）
中心格与角格放好数之后，边中格的数就没有选的份了。只能填上相应的①类数。於是我们证明了，三阶幻方至多八个。至于具体写出这八个，楼上已经多次完成。我们就不再作了。

三阶幻方,有一个诀窍:将最中间的数填中间,把单数填角上,双数填剩下的格子.
http://www.zhghf.net/zhghf/23zl/143gz.htm
添对角线法，对调转一圈，图形移动方法。

我们算出三个数字之和等于几。我们从三横行或三纵列中看出：三数之和就是（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝15；再让我们写出三个数字之和等于15的几种可能。我们很快完成了。
1＋5＋9 1＋6＋8 2＋4＋9 2＋5＋8 2＋6＋7 3＋5＋7 3＋4＋8 4＋5＋6
写出这八个算式后，我们马上找到了解“三阶幻方”的方法。上面的八个算式中，“5”出现4次，故“5”必须放在中间一格；2，4，6，8各出现3次，故2，4，6，8必定放到四个角的位置，1，3，9，7各出现2次，应在四边中间的一格。
我们换成2至10九个数字，再让我们继续练习。最后我们终于找到了解“三阶幻方”的新招：
①算出三个数之和，即九个数的和除以3；
②填“三阶幻方”的数如果是一个等差数列，中间格子应填第五个数；
③填在四角的是第二、四、六、八个数，而且对角两数的和等于另一对角两数的和

三阶幻方8种变式

4 9 2
3 5 7
8 1 6

2 9 4
7 5 3
6 1 8

8 1 6
3 5 7
4 9 2

6 1 8
7 5 3
2 9 4

8 3 4
1 5 9
6 7 2

4 3 8
9 5 1
2 7 6

6 7 2
1 5 9
8 3 4

2 7 6
9 5 4
4 3 8

三阶幻方， 幻和为15
是最简单的幻方 由1,2,3,4,5,6,7,8,9
九个数字组成的一个 三行三列的 矩阵
其对角线 横行 纵向 的数字 的和都为为15
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
解：
上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”
公式
S=n(n ^2+1) /2
其中n为幻方的阶数，所求的数为S

4 9 2
3 5 7
8 1 6

2 9 4
7 5 3
6 1 8

8 1 6
3 5 7
4 9 2

6 1 8
7 5 3
2 9 4

8 3 4
1 5 9
6 7 2

4 3 8
9 5 1
2 7 6

6 7 2
1 5 9
8 3 4

2 7 6
9 5 4
4 3 8

http://zhidao.baidu.com/question/28464200.html
http://baike.baidu.com/view/39461.htm
http://www.matrix67.com/blog/archives/tag/%E5%B9%BB%E6%96%B9
http://www.zhghf.net/zhghf/23zl/143gz.htm

（1+2+……+9）/3=15.每行，列。对角线三个数的和都是15.按照一个数与别的两个数合成15的个数，对1，2，……，9分类。
①两个15：1，3，5，7.（例如7：只有267.357两个）
②三个15：2，4，6，8.（例如8：168，258，348）
③四个15：5（159.258，357，456）
下面来作幻方了。九个格点也分三类：中心格。角格，边中格。
中心格要求四个15，只可放5.我们在中心格填上5.（只余下8个数了）
角格要求三个15。放2，4，6，8.放的方法正好八个：（例如右上角放2，则左下角必放8，另外两个角放4和6，可以对调，共两个放法。把2换4，6，8.各两个放法，总共八个放法，）
中心格与角格放好数之后，边中格的数就没有选的份了。只能填上相应的①类数。於是我们证明了，三阶幻方至多八个。至于具体写出这八个，应该是初中学生都能完成的事了。我们就不再作了。

我们算出三个数字之和等于几。我们从三横行或三纵列中看出：三数之和就是（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝15；再让我们写出三个数字之和等于15的几种可能。我们很快完成了。
1＋5＋9 1＋6＋8 2＋4＋9 2＋5＋8 2＋6＋7 3＋5＋7 3＋4＋8 4＋5＋6
写出这八个算式后，我们马上找到了解“三阶幻方”的方法。上面的八个算式中，“5”出现4次，故“5”必须放在中间一格；2，4，6，8各出现3次，故2，4，6，8必定放到四个角的位置，1，3，9，7各出现2次，应在四边中间的一格。
我们换成2至10九个数字，再让我们继续练习。最后我们终于找到了解“三阶幻方”的新招：
①算出三个数之和，即九个数的和除以3；
②填“三阶幻方”的数如果是一个等差数列，中间格子应填第五个数；
③填在四角的是第二、四、六、八个数，而且对角两数的和等于另一对角两数的和

三阶幻方8种变式

4 9 2
3 5 7
8 1 6

2 9 4
7 5 3
6 1 8

8 1 6
3 5 7
4 9 2

6 1 8
7 5 3
2 9 4

8 3 4
1 5 9
6 7 2

4 3 8
9 5 1
2 7 6

6 7 2
1 5 9
8 3 4

2 7 6
9 5 4
4 3 8

三阶幻方， 幻和为15
是最简单的幻方 由1,2,3,4,5,6,7,8,9
九个数字组成的一个 三行三列的 矩阵
其对角线 横行 纵向 的数字 的和都为为15
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
解：
上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”
公式
S=n(n ^2+1) /2
其中n为幻方的阶数，所求的数为S