当y(0)=0,求微分方程f✀(x)=2cos2x+f(x),的特解, 书上答案是y=2⼀5(e^x+2sin2x-cos2x)

但我不知道解题过程
2025-03-10 06:02:58
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回答1:

步骤很清晰,但是过程很繁琐
令y=f(x),则原方程表示为y'-y=2cos(2x) <1>
齐次方程为y'-y=0的解:y=C*exp(x) <2>
常数变易法令C=C(x):<2>写成y=C(x)*exp(x)-->y'=C'(x)exp(x)+C(x)*exp(x)代入<1>:C'(x)exp(x)=2cos(2x)-->C'(x)=2exp(-x)*cos(2)x-->解出
C(x)=-2/5 cos(2 x) (e)^(-x)+4/5 sin(2 x) (e)^(-x)
代入<2>:y=-(2/5)*cos(2*x)*exp(-x)+(4/5)*sin(2*x)*exp(-x)+_C1
代入y(0)=0-->C1=2/5
所以所求原方程的特解:
y=-exp(-x)[(2/5)*cos(2*x)*+(4/5)*sin(2*x)*]+2/5