线性方程组什么时候有唯一解、无解、无穷多个解？

假定对于一个含有n个未知数m个方程的线性方程组而言，若n<=m, 则有：

1、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解；

2、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解；

3、当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解；

4、若n>m时，当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解；

5、当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

扩展资料

线性方程组解题法则：

1、克莱姆法则：用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系。

2、矩阵消元法：将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

参考资料：百度百科—线性方程组

解：写出该方程的增广矩阵：
2-λ     2      -2     1
2        5-λ   -4     2
-2      -4     5-λ   -λ-1
对增广矩阵进行初等行变换，获得矩阵的行最简形式：
1       0       (λ-9)/2           (λ-3)/2
0       1             1                    1
0       0    (λ-10)*(λ-1)    (λ-4)*(λ-1)
讨论：
当λ=10时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故方程组无解
当λ≠10且λ≠1时，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩为3，故方程组有唯一解
当λ=1时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为2，故方程组有无穷多解
将λ=1代入矩阵的行最简形式：
1       0      -4      -1
0       1        1       1
0       0        0       0
先获得对应齐次方程的通解，即
（x1,x2,x3)T=C*(4,-1,1)T,  C为任意常数
再获得该非齐次方程组的一个特解, 即：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T
故该方程组的通解为：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T+C*(4,-1,1)T

在对此线性方程组进行初等变换，
化为最简型之后，
如果系数矩阵的秩R(A)小于增广矩阵的秩R(A,b)，
那么方程组就无解
而如果系数矩阵的秩R(A)等于增广矩阵的秩R(A,b)
方程组有解，
R(A)=R(A,b)等于方程组未知数个数n时，有唯一解。
而若R(A)=R(A,b)小于方程组未知数个数n时，有无穷多个解。

方程组有唯一解、无解、有无数解，分别需要满足什么条件？

在对此线性方程组进行初等变换，
化为最简型之后，
如果系数矩阵的秩R(A)小于增广矩阵的秩R(A,b)，
那么方程组就无解
而如果系数矩阵的秩R(A)等于增广矩阵的秩R(A,b)
方程组有解，
R(A)=R(A,b)等于方程组未知数个数n时，有唯一解。
而若R(A)=R(A,b)小于方程组未知数个数n时，有无穷多个解。