两个实对称矩阵合同,那么他们的二次型的规范形一定相同吗?

2025-03-14 04:05:55
推荐回答(3个)
回答1:

未必,只需要给举个反例就行。

对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵,而单位矩阵只能和单位矩阵相似,显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。

合同与相似是特殊的等价关系,若两个矩阵相似或合同,则这两个矩阵一定等价,反之不成立。相似与合同不能互相推导,但是如果两个实对称矩阵是相似的,那肯定是合同的。 

两矩阵合同的概念:设A,B是两个n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得C^TAC=B,则称方阵A与B合同,记作 A≃B。

两矩阵相似的概念:设A/B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

性质:

1.对于任何方形矩阵X,X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

回答2:

二次型的规范型是唯一的,在规范型里面,要按照1,-1,0的顺序进行排列。正负惯性指数一样,规范型肯定是一样的。

回答3:

这个不一定的

因为合同的一定可以推出惯性指数一样但是反过来可能就不对了