我到底错在哪？我找了半天也没看出来，望大神帮帮忙，急急急急急！

答案确实是 sqrt(6)/3
最简单的方法：前面按你的思路建立直角坐标系，由距离公式可以得到
AD^2 = 4-sqrt(6)
BD = sqrt(3)
由勾股定理得 ∠BDE = Rt∠
由三面角余弦定理 cos(A-BE-D)*sin∠BED*sin∠AEB + cos∠BED*cos∠AEB = cos ∠AED
即 cos(A-BE-D)*3/4 + 1/4 = cos∠AED = (AE^2+DE^2-AD^2)/(2*AE*DE)
即可得 cos(A-BE-D) = sqrt(6)/3

如果不用三面角余弦定理，取BE中点M，作MK⊥BE，交BD于K，则目标为cos∠AMK
通过相似得 BM/BD = MK/DE = BK/BE，BK=2/sqrt(3)，MK=DK=1/sqrt(3)
AM=sqrt(3)这容易得到，主要是计算 AK^2比较麻烦，通过解三角形ABKD（用斯台沃特定理，作辅助线用中线长公式，两次余弦定理都可以）
AK^2 = 10/3-2/3*sqrt(6)
最终用余弦定理得到 cos∠AMK = (3+1/3-AK^2)/(2*3*1/3) = sqrt(6)/3

暂时未想到更巧妙的办法。不过个人觉得，你既然选择了计算方式解决，那就多用点公式计算到底