求微分方程y'-(1/x)y=-(2/x)lnx的通解
解：先求齐次方程y'-(1/x)y=0的通解：
分离变量得dy/y=dx/x
积分之得lny=lnx+lnc₁=lnc₁x
故齐次方程的通解为y=c₁x；将c₁换成x的函数u得y=ux............(1)
将(1)对x取导数得 dy/dx=u+x(du/dx)...........(2)
将(1)(2)代入原方程得：u+x(du/dx)=-(2/x)lnx
化简得x(du/dx)=-(2/x)lnx
分离变量得 du=-(2/x²)lnxdx
积分之得u=-2∫[(lnx)/x²]dx【令lnx=t，则x=e^t，dx=(e^t)dt】
=-2∫[t/(e^2t)](e^t)dt=-2∫(t/e^t)dt=2∫td[e^(-t)]=2[te^(-t)+∫e^(-t)d(-t)]
=2[te^(-t)+e^(-t)]=2[(lnx)+1]e^(-lnx)=2(1+lnx)/x+c
故原方程的通解为 y=2(1+lnx)+cx.
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