已知sinA+cosA =根号二⼀3(π⼀2<A<π）求sinA -cosA 及tanA的值

答：
因为：sinA+cosA=√2/3，π/2所以：sinA>0，cosA<0
所以：sinA-cosA>0

因为：
(sinA+cosA)²=(√2/3)²
1+2sinAcosA=2/9
2sinAcosA=-7/9
所以：
1-2sinAcosA=16/9
所以：
(sinA-cosA)²=16/9
解得：sinA-cosA=4/3（负值不符合舍去）

结合sinA+cosA=√2/3解得：
sinA=(4+√2)/6
cosA=(√2-4)/6
所以：
tanA=(4+√2) /(√2-4)
tanA=-(9+4√2) /7

π/2所以A+π/4∈(3π/4, 5π/4)

sinA+cosA =sin(A+π/4)=√2/3
所以
sinA-cosA=sin(A-π/4)=-sin(π/4-A)= -sin[π/2-(A+π/4)]
= -cos(A+π/4)
=-(-√5/3)
=√5/3

因为(sinA+cosA)/(sinA-cosA)=√2/√5
上下同时除以cosA，变为(tanA+1)/(tanA-1)=√2/√5
解得tanA=-(7+2√10)/3

(sinA+cosA)²=sin²A+cos²A+2sinAcosA=1+sin2A
(sinA-cosA)²=sin²A+cos²A-2sinAcosA=1-sin2A
∴(sinA+cosA)²+(sinA-cosA)²=2
而sinA+cosA=√2/3，∴2/9+(sinA-cosA)²=2
∴(sinA-cosA)²=16/9
而π/20，cosA<0
∴sinA-cosA>0，∴sinA-cosA=4/3
而sinA+cosA=√2/3，∴sinA=(4+√2)/6，cosA=-(4-√2)/6
∴tanA=sinA/cosA=-(4+√2)/(4-√2)
=-[(4+√2)(4+√2)]/[(4-√2)(4+√2)]
=-(16+8√2+2)/(16-2)
=-(9+4√2)/7

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