13问答网 > 已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立

2025-03-01 16:31:16

推荐回答（1个）

回答1：

证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

a2+b2+c2≥3(abc)

2

3

1

a

+

1

b

+

1

c

≥3(abc)?

1

3

①
所以(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥9(abc)?

2

3

②（6分）
故a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥3(abc)

2

3

+9(abc)?

2

3

．
又3(abc)

2

3

+9(abc)?

2

3

≥2
27
＝6
3
③
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)

2

3