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高数，利用函数的单调性证明[e^x+e^(-x)]⼀2>1+(x^2)⼀2

2025-04-04 16:34:39

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回答1：

设f(x)=[e^x+e^(-x)]/2-1-(x^2)/2
则f'(x)=[e^x-e^(-x)]/2-x
f''(x)=[e^x+e^(-x)]/2-1>=0,f''(x)>=f''(0)=0
所以f'(x)为单调递增函数
f'(0)=0,x<=0时，f'(x)<0;x>=0时，f'(x)>0
即x<=0时，f(x)单调递减，x>=0时，f(x)单调递增
f(0)=0，即有，x<=0时，f(x)>=0，x>=0时，f(x)>=0
[e^x+e^(-x)]/2-1-(x^2)/2>=0 =>[e^x+e^(-x)]/2>=1+(x^2)/2
注，原题应该少写了等号