用反证法证明之。
假若β, β+α1, …, β+αs线性相关，则存在不全为零的数k0、k1、…、ks，使得
k0β+k1(β+α1)+…+ks(β+αs)＝0.
上式两边同时左乘A，注意到α1、…、αs是基础解系，有Aαi＝0 (i＝1, 2, …, s)，得到
(k0+k1+…+ks)Aβ＝0.
到k0+k1+…+ks≠0（因为k0，k1，…，ks不全为零），而由题设又有Aβ≠0，矛盾！
所以，β，β+α1，…，β+αs线性无关。
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