已知函数f（x）是定义域在[-1，1]的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时

f（x）是定义域在[-1，1]的奇函数，
∴f（0）=0，并且f(-x) = -f(x)

∵[ f(a)+f(b)] /(a+b) >0，其中a，b∈[-1，1]
令a=0，则{f(0)+f(b)}/(0+b)＞0，f(b)/b＞0
∴f(x)/x＞0
∴x∈【-1，0）时，f(x)＜0；x∈（0，1】时f(x)＞0

∵[ f(a)+f(b)] /(a+b) >0，其中a，b∈[-1，1]
令-1≤a＜0＜b≤1

当|a|＞|b|，即a+b＜0时，f(a)+f(b)＜0
又：f(-a)=-f(a)，∴-f(a)+f(b)＜0，-f(-a)＞f(b)
∵-1≤a＜0，并且f(-a)=-f(a)，∴0＜b＜-a＜1
∴f(x)在区间（0，1）单调增

当|a|＜|b|，即a+b＞0时，f(a)+f(b)＞0
又：f(-b)=-f(b)，∴f(a)-f(-b)＞0，f(a)＞f(-b)
∵0＜b≤1，∴-1≤-b＜a＜0
∴f(x)在区间【-1，0）单调增

综上，f(x)在【-1,1】单调增
∵f（x+1/2）∴-1≤x+1/2 ＜1/(x-1)≤1

由-1≤x+1/2，得出x≥-3/2

由x+1/2 ＜1/(x-1)，x+1/2 -1/(x-1)＜0，{2x(x-1)+(x-1)-2}/{2(x-1)}＜0，(x+1)(2x-3)/(x-1)＜0
解得x＜-1，或1＜x＜3/2

由1/(x-1)≤1，1/(x-1)-1≤0，(1-(x-1))/(x-1)≤0，x/(x-1)≥0，x≤0，或x＞1

综上，-3/2≤x＜-1 ，或1＜x＜3/2

由[f(a)+f(b)]/(a+b)>0可知
f(a)+f(b)与a+b同号
又f(b)=-f(-b)(根据奇函数性质）
所以f(a)-f(-b)与a+b同号
所以a＞b时，f(a)>f(-b)
当f[1/(x-1)]>f(x+1/2)时
即1/(x-1)>x+1/2
整合得
(x-1)(2x-3)(x+2)<0
解得
｛x/1
不懂再问，希望采纳

这道题的关键是由：[f(a)+f(b)]/(a+b)>0这个得出f(x)的单调性。
因为：[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
所以：[f(a)+f(-b)]/(a-b)>0，①
因为f(x)是奇函数，所以f(-b)=-f(b)
所以①式写为：[f(a)-f(b)]/(a-b)>0，②
（对于这个②式，最好要掌握，这是单调性的另一种表述方式）
在②式中：若a 若a>b，则f(a)>f(b)；
由此可知，f(x)在定义域[-1,1]上是递增的；
接下来才是解不等式f（x+1/2）对于函数中的不等式，首先要考虑的是满足定义域：
-1≦x+1/2≦1，得：-3/2≦x≦1/2；
-1≦1/(x-1)≦1，得：x≦0或x≧2；
所以，定义域要求：-3/2≦x≦0；
然后才是由单调递增性：x+1/2<1/(x-1)，
因为定义域已经明确x<1，所以这边解的时候直接去分母即可，要注意变向；
得：x²-x/2-3/2>0，即：2x²-x-3>0，即：(2x-3)(x+1)>0
得：x<-1或x>3/2
结合定义域，得：-3/2≦x<-1；
综上，所求不等式的解为：-3/2≦x<-1；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！