设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线，则I＝∮(－ydx＋xdy)⼀(x눀＋y눀),怎...

必须加一个条件是逆时针积分。

假设有闭曲线C1围绕原点，则可构造一圆C，使圆C完全位于C1内部，再以任意曲线连接C与C1上任意两点A、B，则曲线C、C1、AB构成了一个闭合回路G

有P=-y/(x^2+y^2)，Q=x/(x^2+y^2)，所以∂P/∂y=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2，∂Q/∂x=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2，即∂P/∂y=∂Q/∂x

根据格林公式可知，∮G(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=0，即

∮C1(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮BA(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮C-(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮AB(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=0

并且注意到∮BA(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=-∮AB(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)

∮C-(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=-∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)

所以有∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=∮C1(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)

且易证∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=2π，有关图及步骤如下：

我能把步骤写下来 但是有一点不太明白 就是柯西积分定理的推广 围绕原点正定的简单闭曲线的积分等于绕原点负定的圆周积分 就是对C的积分等于对圆周Cr的积分 它等于2倍的Cr积分 即是2πr2/x2+y2 因为r2等于x2+y2 结果就是2π

是2pai