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求由曲线y=e^(-x)与该曲线过原点的切线和y轴所围图形的面积

答案是(e⼀2)-1我觉得不对，他那个y=-ex怎么来的啊

2025-04-04 10:00:54

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回答1：

设切点为N(n, e⁻ⁿ)
y = e^(-x)
y' = [e^(-x)](-x)' = -e^(-x)
x = n, y' = -e⁻ⁿ
切线y - e⁻ⁿ = -e⁻ⁿ(x - n)
切线原点: 0 - e⁻ⁿ = -e⁻ⁿ(0 - n)
n = -1
N(-1, e)
切线: y - e = -e(x + 1), y = -ex
该曲线过原点的切线和y轴所围图形的面积S = ∫₋₁⁰[e^(-x) - (-ex)]dx
= [-e^(-x) + ex²/2]|₋₁⁰
= (-1+ 0) - (-e + e/2)
= (e/2) -1

回答2：

先用导数求出在（a，b）斜率，同时知道b＝e^(-a)，解方程组，求的a＝－1，b＝e，之后用积分先求出曲线下的面积，再减去三角形的面积就可以了。