若函数f(x)=1⼀3x^3-1⼀2ax^2+(a-1)x+1在区间(1,4)内是减函数,在区间(6,+∞)上是增函数

2024-12-05 12:26:21
推荐回答(2个)
回答1:

f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1
确认一下,上面那个函数是否是这个形式的
f(x)=(1/3)x^3-(1/2)ax^2+(a-1)x+1

是的话,这样做
先对f(x)求导,得到g(x)=x^2-ax+a-1
把上面的函数看成是a的函数,有
q(a)=(1-x)a+x^2-1
由于在区间(1,4)内是减函数,故 (1-x)a+x^2-1<0 (1)
在区间(6,+∞)上是增函数,故(1-x)a+x^2-1>0 (2)

解不等式(1),(1-x)a<1-x^2
a>(1-x^2)/(1-x) 注意:1-x是小于0的,所以不等式要变号。
所以a>1+x, x大于1小于4,要让等式始终成立,a>1+4,即a>5。
(举个例子,假设x取2,则a>3,可是当x取3的时候,a的范围就有可能不成立了。)

解不等式(2),(1-x)a>1-x^2
a<(1-x^2)/(1-x) 注意:1-x是小于0的,所以不等式要变号。
所以a<1+x, x大于6,要让等式始终成立,所以a<7

回答2:

解:∵函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1
∴f′(x)=x2-ax+(a-1)=(x-1)[x-(a-1)]
又∵函数f(x)区间(1,4)上为减函数,在(6,+∞)上为增函数,
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7