柯西定理的证明 谢谢！

引入二次函数y＝（a1x－b1）^2＋（a2x－b2）^2＋（a3x－b3）^2＋······＋（anx－bn）^2。
显然有：y≧0。
改写函数的表达形式，得：
y＝（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）x^2－2（a1b1＋a2b2＋a3b3＋······＋anbn）x
　　＋（b1^2＋b2^2＋b3^2＋······＋bn^2）。
很明显，a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2＞0，
∴引入的函数图象是一条开口向上，且与x轴相切或相离的抛物线。

∴方程
（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）x^2－2（a1b1＋a2b2＋a3b3＋······＋anbn）x
　　＋（b1^2＋b2^2＋b3^2＋······＋bn^2）＝0
的判别式不大于0，即：
［－2（a1b1＋a2b2＋a3b3＋······＋anbn）］^2
－4（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）（b1^2＋b2^2＋b3^2＋······＋bn^2）≦0，
两边除以4，移项，得：
（a1b1＋a2b2＋a3b3＋······＋anbn）^2
≦（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）（b1^2＋b2^2＋b3^2＋······＋bn^2）。

下面考查上述不等式取等号时的条件：
自然，当取等号时，方程
（a1x－b1）^2＋（a2x－b2）^2＋（a3x－b3）^2＋······＋（anx－bn）^2＝0有等根，
∴a1x－b1＝a2x－b2＝a3x－b3＝······＝anx－bn，
∴x＝b1/a1＝b2/a2＝b3/a3＝······＝bn/an。

于是柯西不等式得证。即：
（a1b1＋a2b2＋a3b3＋······＋anbn）^2
≦（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）（b1^2＋b2^2＋b3^2＋······＋bn^2）。
且当b1/a1＝b2/a2＝b3/a3＝······＝bn/an 时取等号。