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讨论函数f（x）=x的平方-1⼀分之ax (-1<x<1)的单调性

2025-02-25 12:53:57

推荐回答（2个）

回答1：

显然当a=0时f(x)=0，函数为常函数，无单调性
当a≠0时，令-1则f(x2)-f(x1)
=ax2/(x2^2-1)-ax1/(x1^2-1)
=a(x1-x2)(x1x2+1)/[(x2^2-1)(x1^2-1)]
因-1且-1则|x1||x2|=|x1x2|<1，即-1同时|x1|^2=x1^2<1
同理|x2|^2=x2^2<1
于是0而x1-x2<0
所以(x1-x2)(x1x2+1)/[(x2^2-1)(x1^2-1)]<0
当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，表明f(x)递减
当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，表明f(x)递增

综上有
当a=0时，f(x)无单调性
当a>0时，f(x)为减函数
当a<0时，f(x)为增函数

回答2：

解：f′（x)=-a(x²+1）/(x²-1）²没有零点
（1）a<0时，f′（x)>0, f(x)单调递增
（2）a=0时，f(x)=0
(3)a>0时，f′（x)<0, f(x)单调递减