13问答网 > 怎么计算I=∫(0,1)(x^b-x^a)⼀ln xdx其中b>a>0 亲们跪求啊。。。。。大侠们帮帮忙。。。

怎么计算I=∫(0,1)(x^b-x^a)⼀ln xdx其中b>a>0 亲们跪求啊。。。。。大侠们帮帮忙。。。

2025-02-23 07:29:52

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回答1：

解答：
这是一道很难的题目，此题要转化成二重积分才可以解。
∫(0,1)(x^b-x^a)/ln xdx
=∫(0,1)[∫(a,b)x^tdt]dx（中括号内部积分变量是t）
=∫(a,b)[∫(0,1)x^tdx]dt（交换积分次序）
=∫(a,b)[x^(t+1)/(t+1)|(0,1)]dt
=∫(a,b)1/(t+1)dt
=ln(t+1)|(a,b)
=ln|(b+1)/(a+1)|+C

回答2：

易知:(x^b-x^a)/lnx =∫[a->b] x^ydy, 而函数x^y显然在x∈[0,1],y∈[a,b]上连续
I=∫(0－1) (x^b-x^a)/Inx=∫[0->1]dx∫[a->b] x^y dy=∫[a->b] dy∫[0->1]x^ydx=∫[a->b] 1/(1+y) dy
=ln((1+b)/(1+a))
（仅供参考）

回答3：

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

怎么计算I=∫(0,1)(x^b-x^a)⼀ln xdx其中b>a>0 亲们跪求啊 。。。。。大侠们帮帮忙。。。

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