13问答网 > （2009?黄冈模拟）已知A（1，0），B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．（1）求动点M的轨迹E

（2009?黄冈模拟）已知A（1，0），B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．（1）求动点M的轨迹E

2025-02-26 23:29:55

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回答1：

（1）设动点M的坐标为（x，y），则tan∠MBA＝

|y|

x+2

，tan∠MAB＝

|y|

1?x

．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得

|y|

x+2

＝

2

|y|

1?x

1?(

|y|

1?x

)2

，
化简得3x²-y²=3，
当∠MBA＝

π

2

时也满足．
显然，动点M在线段AB的中垂线的左侧，且∠MAB≠0，
故轨迹E的方程为 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．
由点差法有

y1?y2

x1?x2

?

y1+y2

x1+x2

＝3，即y₀=-x₀．
又y0＝

1

3

x0+b；所以x0＝?

3

4

b，y0＝

3

4

b．
①由3(?

3

4

b)2?(

3

4

b)2＞3及x0＝?

3

4

b＜?1得，b＞

2

3

6
．
②直线CD的方程为y?

3

4

b＝?3(x?

3

4

b)，即y＝?3x?

3

2

b．（b≠2）
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），x1